Nastro di Möbius

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Un nastro di Möbius di carta

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata.

Indice

1 Descrizione informale
2 Geometria
3 Ispirazioni
4 Applicazioni pratiche
5 Note
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Descrizione informale

Le superfici ordinarie, intese come le superfici che nella vita quotidiana siamo abituati ad osservare, hanno sempre due "lati" (o meglio, facce), per cui è sempre possibile percorrere idealmente uno dei due lati senza mai raggiungere il secondo, salvo attraversando una possibile linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamata "bordo"): si pensi ad esempio alla sfera, al toro, o al cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato "superiore" o "inferiore", oppure "interno" o "esterno".

Nel caso del nastro di Möbius, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo sul lato iniziale. Quindi per esempio una formica potrebbe passare da una superficie a quella "dietro", senza attraversare il nastro e senza saltare il bordo, semplicemente camminando abbastanza lontano.

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°. A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull'intera superficie del nastro che è quindi unica.

Essendo una superficie rigata, per ogni punto sul nastro passa almeno una retta che giace sulla superficie del nastro. Sono superfici rigate il piano, il cilindro e il cono e altre, mentre non sono superfici rigate la sfera, l'ellissoide e molte altre

Nella costruzione, si ottiene comunque un nastro di Möbius imprimendo al lato corto n mezzi giri di torsione, con n dispari (nel nastro di Möbius "classico", n=1). Con n pari si ottiene una figura topologica diversa, questa volta orientabile, chiamata anello, equivalente ad una corona circolare.

Tagliando il nastro a metà parallelamente al bordo, si ottiene un altro nastro però con una torsione intera, due bordi e due superfici diverse, quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalla forbice rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l'altro. Tagliando il nastro a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con la forbice e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell'altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.

L'oggetto deve il suo nome al matematico August Ferdinand Möbius (1790-1860) che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili.

[modifica] Geometria

Rappresentazione grafica del nastro di Möbius

Il nastro di Möbius può essere espresso come superficie in R³ avente le seguenti equazioni parametriche (in coordinate cartesiane):

$x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$

$z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

dove $0\leq u < 2\pi$ e $-1\leq v\leq 1$ . In questo modo si ottiene un nastro di Möbius di larghezza 1, centrato in (0,0,0) e con il cerchio centrale giacente sul piano x-y. Variando il parametro u ci si muove lungo il nastro, mentre variando v si passa "da un bordo all'altro" (anche se in realtà è sempre lo stesso).

In coordinate cilindriche (r,θ,z), una versione infinita del nastro di Möbius è rappresentata dall'equazione:

$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

[modifica] Ispirazioni

Il simbolo internazionale del riciclaggio dei rifiuti è un esempio di Nastro di Möbius.

Il nastro di Möbius ha influenzato, nel corso degli anni, opere di vario genere.

[modifica] Arte

L'incisore e litografo olandese Maurits Cornelis Escher, nel 1961, usa il nastro di Möbius per una sua incisione su legno, Striscia di Möbius I. Di due anni più tardi è il suo Striscia di Möbius II (1963). Nell'opera, una teoria di formiche cammina indefinitamente sul nastro percorrendone tutta la superficie.

[modifica] Letteratura

Nel 1950 un insegnante di Harvard, Armin J. Deutsch, consigliato dall'allora suo collega Isaac Asimov, pubblica il racconto breve Una Metropolitana chiamata Moebius (A Subway named Möbius) sul numero di dicembre dello stesso anno della rivista Astounding Science-Fiction. Nel racconto un treno metropolitano di Boston, seguendo un intricato percorso, finisce paradossalmente in una striscia di Möbius, formata da binari intricati, senza più poterne uscire. Questo è l'unico racconto scritto da Deutsch.

Nastro di Moebius è anche un racconto di Julio Cortàzar, presente nella raccolta "Tanto amore per Glenda".

[modifica] Cinema

Nel 1996 il regista argentino Gustavo Mosquera R. fa una trasposizione cinematografica del racconto di Deutsch: Moebius. Il racconto viene adattato per il cinema da vari autori, fra cui il regista stesso, ed ambientato a Buenos Aires, in Argentina, dove il protagonista, un giovane topologo, viene incaricato di trovare un professore che è scomparso dopo aver preso un treno metropolitano, che in virtù del progressivo aumento della complessità del tracciato, tale da renderne indescrivibile il percorso, ha infranto i limiti spazio-temporali scomparendo col professore dalla nostra dimensione. Il film è uscito nel 1998 in Italia.

Il nastro di Möbius è stato anche accostato da alcuni critici, come Enrico Ghezzi ^[1], alla struttura di alcuni film del regista americano David Lynch. I protagonisti di Mulholland Drive e Lost Highways, in particolare, si trovano ad un certo momento del film a rivivere scene già vissute, ma con i ruoli interscambiati, proprio come se si muovessero sull'unica faccia del nastro.

[modifica] Applicazioni pratiche

[modifica] Informatica

In campo informatico il nastro di Möbius è stato occasionalmente utilizzato per realizzare cartucce dati ad accesso casuale contenenti nastri magnetici registrati su entrambe le facce; l'accorgimento permette di raddoppiare lo spazio di memorizzazione.

[modifica] Meccanica

Le cinghie di trasmissione possono utilizzare il nastro di Möbius per distribuire l'usura sulle due facce.

[modifica] Fare un nastro di Moebius in casa

Prendete una striscia di carta, diciamo 20 x 2 cm. afferrate le due estremità una nella mano destra e una nella mano sinistra. Avvicinatele come per fare un normale anello di carta, ma, prima di incollarle insieme, ruotate di 180° una delle due estremità. Incollate o applicate del nastro adesivo ed ecco il vostro anello di Moebius. Se la carta ha la consistenza giusta sarà proprio bello da vedere.