Quadrato (geometria)

All you want to know about Quadrato (geometria)

In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).

Il quadrato è un caso particolare di rettangolo (in quanto ha tutti e quattro i lati uguali) e di rombo (in quanto ha le due diagonali uguali ovvero in quanto ha quattro angoli uguali) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Indice

1 Caratteristiche principali
2 Equazione di un quadrato su un piano cartesiano
3 Esistenza del quadrato
4 Voci correlate

[modifica] Caratteristiche principali

Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano

$\mbox{diagonale} = \mbox{lato} \cdot \sqrt 2$

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. La diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt {l^2 + l^2} = \sqrt{2 \cdot l^2} = l\cdot\sqrt{2}$ .

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati uguali, misura:

$\mbox{lato}\cdot 4\,$

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono uguali, misura:

$\mbox{lato}^2\,$

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli $k\frac\pi2 \mbox{rad} = k 90^\circ \mbox{ per } k=0,1,2,3$ ; naturalmente la rotazione di $\,\pi\,$ radianti è la simmetria centrale.

[modifica] Equazione di un quadrato su un piano cartesiano

Il quadrato $Q$ di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

$Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|\leq 1, |y|\leq 1\big\}.$

Il suo bordo è quindi

$\partial Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|=1, |y|\leq 1\}\cup\{(x,y)\ |\ |y|=1, |x|\leq 1\big\}.$

Questo può essere anche descritto come

$\partial Q =\big\{(x,y)\ \big|\ 0<\lim_{n\rightarrow \infty} x^{2n}+y^{2n}<\infty\big\}.$

In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.

[modifica] Esistenza del quadrato

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

[modifica] Voci correlate

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_(geometria)"

Categoria: Quadrilateri

up to content »