Curva de Bézier

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Exemplo de uma curva de Bézier cúbica

A curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre alguns pontos representativos, chamados de pontos de controle. É uma curva utilizada em diversas aplicações gráficas como o Gimp, Inkscape e CorelDRAW, e formatos de imagem vetorial como o SVG. Esse tipo de curva também é bastante utilizada em modelagem tridimensional e animações.

[editar] Histórico

Foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido ao criador da curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Foi desenvolvida como resultado do Algoritmo de De Casteljau em 1957 (P. De Casteljau, Citröen) e formalizada na década de 60.

[editar] Descrição

Animação de uma curva de Bézier linear, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier quadrática, t em [0,1]

Animação de uma curva de Bézier cúbica, t em [0,1]

A curva simplesmente baseia seu cálculo no Binômio de Newton para a resolução de seus coeficientes e é resolvida facilmente através de:

${\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!.\;\;x = t\;,\;y = (1-t)$

O índice t é um valor de parametrização para percorrer a curva e pode ser qualquer valor entre zero e um, n é o grau do Binômio, tal que usamos $n + 1$ pontos de controle para cada curva que desejamos desenhar. Por exemplo, para a resolução de $(t + (1 - t)) 2$ usaríamos 3 pontos de controle e obteríamos curvas quadráticas, com o uso do binômio $(t + (1 - t)) 3$ usaríamos 4 pontos de controle e obteríamos curvas cúbicas. Os pontos de controle $B i$ podem ser escolhidos aleatóriamente, e devem ser multiplicados cada um por uma das parcelas do binômio resolvido. O i-ésimo coeficiente da interpolação é obtido através do Binômio de Newton e é um polinômio da forma:

$P_{in}(t) = {n \choose i}(1-t)^{n-i}t^i$

Um ponto na curva correspondente a t é dado por:

${B}(t)=\sum^{n}_{i=0}P_{in}(t)*{B}_i=\sum_{i=0}^n{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^i*{B}_i$

Em que o número de pontos de controle é n mais 1, t assume um valor tal que $t \in \Re, 0 \le t \le 1$ , $B i$ é o i-ésimo ponto de controle. É importante salientar que todos os pontos da curva devem estar dentro da região delimitada pelos seus pontos de controle, seu fecho convexo.